Verileri analiz etmede ilk olarak önemlilik/hipotez testlerinin varsayımlarının sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir. Eğer veri seti dağılımsal varsayımlara sahip değilse, bu varsayımlar altında yapılacak olan tüm istatistiksel analizler geçersiz olacaktır ve çoğu zamanda yanlış sonuçlar elde edildiği için yanlış yorumlar elde etmemize neden olacaktır ¹.

Güçlü olarak kabul edilen çoğu istatistiksel testler veri setinin normal dağılıma uygun olması varsayımı altında çalışmaktadır. Bu nedenle istatistiksel analizlere başlanmadan veri setinin normal dağılıp dağılmadığı araştırılmalıdır. Bu nedenle normal dağılım istatistik alanında en çok üzerinde durulan konulardan biri oluştur. De Moivre tarafından 1733 yılında temelleri binom dağılımın limit şekli olarak atılmış olsa da 1800’lü yılların başlarında Laplace ve Gauss tarafından geliştirilerek son halini almıştır. Genel olarak normal dağılım, veri setinde yer alan bağımlı değişken sayısına göre ‘tek değişkenli normal dağılım’ ve ‘çok değişkenli normal dağılım’ olmak üzere 2 kategoride sınıflandırılmaktadır. Tek değişkenli normallik varsayımında örneklemde yer alan her bir sürekli değişkene ait ölçümlerin normal dağılımdan gelmesi varsayımı vardır ^2,3. Sürekli tek bir değişkenin normalliği tanımlayıcı, grafiksel ve istatistiksel yöntemlerle incelenebilir ⁴.

Bağımlı değişkenlerin sürekli değişken olduğu tek ve çok değişkenli parametrik testler tek değişkenli normallik varsayımına, çok değişkenli parametrik testler ise ayrıca çok değişkenli normallik varsayımlarına dayandırılır ^5,6. Birden çok değişkenin aynı andan normallik koşulunu sağlaması anlamına gelen çok değişkenli normal dağılım, örneklemdeki her bir değişkenin tek değişkenli normallik şartını sağlamasına ek olarak değişkenlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının ve her türlü elde edilebilen ikili kombinasyonlarının da her bir grup ve alt grup için normal oluğunu varsaymaktadır ⁶. Tek değişkenli normallik varsayımının incelenmesinde olduğu gibi çok değişkenli normal dağılımın varlığının araştırılması için de betimsel, grafiksel ve istatistiksel metotlar bulunmaktadır. Çok değişkenli normallik varsayımlarını incelemek için betimsel yöntem olarak çok değişkenli çarpıklık ve basıklık katsayıları kullanılabilmektedir ⁷. Grafiksel yöntem olarak çoklu saçılma grafiğinin yanı sıra marjinal grafikler, Kowalski’nin çizgi grafikleri çok değişkenli Q-Q grafikleri tercih edilebilir ⁵. Ayrıca tek değişkenli uyum iyiliği testlerinden olan Cramer-von Mises ⁸ testinden elde edilmiş Koziol’s testi ⁹, Shapiro-Wilk elde edilmiş türetilmiş Mudholkar-Srivastava-Lin testi ¹⁰, Anderson-Darling testinden elde edilmiş Paulson-Roohan-Sullo testi ¹¹, ki-kare testi ve Kolmogorov-Smirnov testinden elde edilmiş bazı testler kullanılabilmektedir ¹².

Araştırmalarda parametrik testler tercih edilmesine rağmen çok az sayıdaki çalışmalarda tek değişkenli ve bilhassa çok değişkenli normallik koşullarının gerçekleşip gerçekleşmeme durumunun kontrol edildiği sonucuna ulaşılmaktadır ¹³. Bu araştırma kapsamında çok değişkenli normal dağılıma uygunluğu kolay bir şekilde kontrol edecek ve kullanıcıların yapacakları çalışmalarında daha doğru sonuçlar elde etmesini sağlayacak yeni kullanıcı dostu bir web tabanlı yazılım geliştirmek amaçlanmıştır.

Veri seti
Bu çalışmada yapılan yazılımın çalışma şeklini gösterebilmek ve çıktılarını değerlendirebilmek adına iki değişkenden oluşan her bir değişkenin standart normal dağılıma sahip olduğu ve değişkenlerin 1000 gözlem içerdiği veri seti IBM SPSS Statistics sürüm 25.0'ın model sekmesi (simülasyon) ile türetilmiştir.

Normallik analizleri
Bu web tabanlı yazılım araştırıcıların sahip olduğu veri setlerini tek ve çok değişkenli normal dağılıma uygunluğunu test etmek amacıyla geliştirilmiştir. Geliştirilen yazılımda tek değişkenli normal dağılıma uygunluk Shapiro-Wilk ve Anderson-Darling testleri ile test edilirken, çok değişkenli normal dağılıma uygunluk ise Mardia’nın çarpıklıkbasıklık, Henze-Zirkler ve Door-nik-Hansen testleri ile test edilmektedir. Bu testler dışında yer alan ve normallik sınamasında kullanılabilen grafiksel metotlardan olan Q-Q, çekirdek yoğunluk kestirim ve 3-boyutlu yüzey grafikleri de araştırmacıların kullanımı amacıyla yazılımda yer almaktadır. Ayrıca geliştirilen yazılım ile veri seti yapısına bağlı olarak veride nitel değişken(ler)in varlığı durumunda alt grup analizlerinin yapılmasına olanak sağlanmıştır.

Shapiro-Wilk Testi
Normallik testlerinden olan Shapiro-Wilk testi ilk defa Samuel Shapiro ve Martin Wilk tarafından 1965 yılında yayınlanmıştır ¹⁴. Bu test için kurulacak sıfır hipotezi bir örneklemden elde edilen veri serisinin normal dağılım gösteren bir topluma ait olmasıdır. Yani serisinin normal dağılım gösteren bir topluma ait olmasıdır. Shapiro-Wilk test istatistiği olan W şu şekilde elde edilir: Küçükten büyüğe doğru sıralanmış için normal dağılım değerleri olan α_i değerleri şöyle bulunur.

olup standart normal dağılımdan örneklem olarak bulunmuş bağımsız ve aynı dağılımı gösteren rastgele değişkenlerin sıra istatistikleri değerlerine ait beklenen değerlerdir. V ise bu sıra istatistikleri için elde edilen kovaryans matrisidir. Son olarak W istatistiği ise

olarak elde edilir ¹⁴.

W test istatistiği aralığında değişim göstermektedir. W test istatistiğinin 1’e yakın değerler alması değişkenin normal dağılıma sahip olduğunu, 0’a yakın değerler alması ise değişkenin normal dağılıma sahip olmadığını gösterir ¹⁴.

Anderson-Darling Testi
Anderson-Darling testi deneysel dağılım fonksiyonu istatistiklerine dayandırılarak 1974 yılında Anderson ve Darling tarafından geliştirilen bir testtir. Bu testte uygulanacak verilerin ham veri olması gerekir. Anderson-Darling testi gözlenen birikimli dağılım fonksiyonunun beklenen birikimli dağılım fonksiyonuna uyumunu karşılaştırabilmek içn kullanılan bir testtir ¹⁴.

Anderson-Darling testi büyüklük sırası gösteren χ_i gözlemlerinin deneysel yığılımlı olasılık dağılımının yığılımlı standart normal dağılıma uygun olup olmadığını test eder. Bu işlem için her bir gözlemin standart dönüşümleri yapılarak Ζ_i gözlemleri elde edilir. Böylece elde edilen standart Ζ_i değerlerinin olasılıklarının standart normal dağılıma uygunluğu test edilir. Bu nedenle Anderson-Darling testinden bir Α² test istatistiği hesaplanarak verilerin normal dağılıma uygunluğu test edilir. Α² Anderson-Darling test istatistiği

olarak elde edilir. Burada yer alan F₀(Ζ_i) değeri; standart normal dağılımın Ζ_i noktasındaki yığılımlı olasılık değerini, n ise örnek gözlem sayısını göstermektedir ¹⁴. Α² test istatistiği küçük örneklem genişliğine sahip veri setleri içn düzeltilerek kullanılır. Düzeltilmiş Α² test istatistiği ise

ile elde edilir ¹⁴.

Mardia’ nın çarpıklık-basıklık testi
Mardia tarafından önerilen ve çok değişkenli çarpıklık ve basıklık testleri, tek değişkenli çarpıklık ve basıklık ölçümlerini içeren t istatistiğinin gücünü genişletme çalışmaları ile 1970 yılında geliştirilmiştir. Ortalama değeri µ ve kovaryans matrisi µ olan p değişkenli bir evrende X için Mardia evrene ait çok değişkenli çarpıklık ve basıklık ölçümlerini aşağıdaki gibi vermiştir ^15,16.

Burada X ve Y bağımsız olarak özdeş olarak dağılır. Çok değişkenli çarpıklık ve basıklık katsayıları sırasıyla (Ŷ_1p) ve (Ŷ_2p) katsayılarına bağlı olarak hesaplanır. (χ₁, χ₂, ...χ_n) verisinin ortalama değeri ve kovaryans matrisi olan p değişkenli bir evrenden rastgele alınarak elde edilen bir örnek olduğu kabul edilirse, buna ait çok değişkenli çarpıklık ve basıklık katsayıları;

dir. Elde edilen katsayılara bağlı olarak çarpıklık ve basık-lık testi için sırasıyla elde edilecek test değerleri

ile hesaplanır ¹⁶.

Henze-Zirkler
Henze-Zirkler testi Epps ve pulley tarafından 1983 yılında geliştirilen tek değişkenli normalliğin belirlenmesi için önerilen testin çok değişkenli normal dağılım durumu için genelleştirilmiş halidir. Ayrıca 1988 yılında Baringhaus ve Henze tarafından önerilen testin de genel halidir ¹⁷.

Çok değişkenli normal dağılımı belirlemek için kullanılan Henze-Zirkler test istatistiği düzleştirme parametresi olan β nın bir fonksiyonu olup

Doornik-Hansen
Doornik ve Hansen tarafından 1994 yılında geliştirilen bu test Bowman ve Shenton tarafından 1975 yılında önerilen çarpıklık ve basıklık katsayılarına bağlı geliştirilen tek değişkenli normallik testi test istatistiğinin çok değişkenli halidir. bir veri kümesi, p boyutlu bir vektörde n gözlemli pxn boyutlu bir matris olduğunda örneklem ortalaması dir. Standart sapmaların tersleriyle köşegen (diyagonal) matris;

korelasyon matrisi C=VSV şeklinde oluşturulur. Verilerin dönüştürülmesi ile ilgili pxn boyutlu matris

şeklinde tanımlanır.

Burada köşegen (diyagonal) elemanlarda C’nin özdeğerli matrisidir. H’nin sütünları özvektörlerdir. Öyle ki dir. C ve V için popülasyon değerlerini kullanarak çok değişkenli normal dağılım, bağımsız standart normal dağılımlara dönüştürülebilir. Dönüştürülen gözlem değerlerinden tek değişkenli eğrilik ve diklik katsayıları hesaplanabilir.

Doornik-Hansen testi için test istatistiği,

Geliştirilen web tabanlı yazılım
Web tabanlı bu uygulamayı oluşturmak için, R programlama dili temelinde interaktif web tabanlı uygulamaların tasarlanmasına izin veren Shiny 1.0.5 sürümü kullanılmıştır. Geliştirilen yazılım ayrıca İngilizce dil seçeneğini de içermektedir. Yazılıma ait ana ve alt menüler aşağıda açıklanmıştır.

Dosya yükleme
Bu web tabanlı uygulamanın ilk aşamasında, veri kümesini içeren dosya yüklenir. Veri analizinde farklı uzantılara sahip en yaygın kullanılan dosya türlerinden olan MS Excel (.xls / .xlsx) ve SPSS (.sav) dosya türleri ile yükleme yapılır. Ek olarak bu menü yüklenen dosyadaki değişkenlerin tipinin ve rolünün belirlenmesini sağlayacak olan ‘Değişkenlerin tipini ve rolünü belirleyiniz’ sekmesini içermektedir.

Normallik analizleri
Web tabanlı uygulamanın bu menüsünde ‘Sayısal değişken(ler)’ sekmesi ile normallik açısından analiz etmek istediğimiz değişkenleri seçebiliriz. Yapılacak analizlerin Tip-I hata düzeyi gerektiğini belirleyen bir ‘anlamlılık düzeyi’ sekmesi vardır. Bu sekme ile analizler 0,01-0,05-0,10 anlamlılık düzeylerinde yapılabilmektedir. Son olarak “Alt grup analizi” sekmesi işaretlenerek gruplar açısından da normallik analizlerini yapmak mümkün olacaktır. Şekil 1, “Normallik Analizleri” menüsünü göstermektedir.

Şekil 1: Normallik analizleri menüsü.

Bu menü ile tek değişkenli ve çok değişkenli normallik analizleri yapılabilmektedir. Tek değişkenli normal dağılıma uygunluk Shapiro-Wilk ve Anderson-Darling testleri ile test edilirken, çok değişkenli normal dağılıma uygunluk ise Mardia’nın çarpıklık-basıklık, Henze-Zirkler ve Doornik-Hansen testleri ile test edilmektedir. Ayrıca testlere ek olarak araştırmacıların kullanımı amacıyla grafiksel metotlardan olan Q-Q, çekirdek yoğunluk kestirim ve 3-boyutlu yüzey grafikleri de yazılımda sonuç çıktıları arasında yer almaktadır.

Geliştirilmiş interaktif web uygulamasının erişilebilirliği ve alıntılanması
Geliştirilen web tabanlı yazılıma
http://biostatapps.inonu.edu.tr/NDY/ adresinden ücretsiz olarak erişilebilir. Bilimsel çalışmalarda yazılımın kaynak gösterilmesi “Arslan, A. K. , Tunc, Z. & Colak, C. Normal Dağılım İnceleme Yazılımı [Web-tabanlı yazılım]” şeklinde yapılabilir. Bu yazılımın geliştirilmesinde shiny ²⁰, shinyBS ²¹ ve shinythemes ²² paketleri kullanıldı.

Deneysel bulgular
Yazılımın çalışma şeklini gösterebilmek ve çıktılarını inceleyebilmek için iki değişkenden oluşan her bir değişkenin standart normal dağılıma sahip olduğu ve değişkenlerin 1000 gözlem içerdiği veri seti üzerinde normal dağılıma uygunluk analizi gerçekleştirilmiştir. İlk olarak veri seti yazılıma yüklenmiştir. Şekil 2 yüklenen dosyaya ilişkin görüntüleri göstermektedir.

Şekil 2: Yüklenen dosyaya ilişkin görüntüler.

Sonra “Normallik Analizleri” sekmesi ile normalliği kontrol edilmek istenen değişkenler “sayısal değişkenler” sekmesi ile seçilir. Anlamlılık düzeyi belirlenerek normallik analizi yapılır. Şekil 3 Tek değişkenli normal dağılım sonuçlarına ait çıktıları göstermektedir.

Şekil 3: Tek değişkenli normal dağılım sonuçlarına ait çıktılar.

Bu sonuçlara göre iki değişkenden oluşan veri setindeki her bir değişken ayrı ayrı yazılımda normal dağılım göstermektedir. Şekil 4 ise çok değişkenli normal dağılım’ a ait sonuç çıktılarını göstermektedir.

Şekil 4: Çok değişkenli normal dağılım’ a ait sonuç çıktıları.

Bu sonuçlara göre 2 değişkenden oluşan veri seti yazılımda yer alan üç çoklu normal dağılım yöntemine göre de normal dağılmaktadır.

Tek değişkenli veri analizlerinde olduğu gibi çok değişkenli veri analizlerinde de çok değişkenli normallik varsayımı, yaygın olarak kullanılan çok değişkenli istatistiksel yöntemlerin temelini oluşturur. Çok değişkenli varyans analizi, diskriminant analizi, kanonik korelasyon analizi ve maksimum olasılık faktör analizi gibi çok değişkenli analizler, tek ve çok değişkenli normallik varsayımını gerektirir ²³.

Tek değişkenli veriler için normallik varsayımını kontrol etme genel bir uygulama olarak düşünülürken, çok değişkenli veriler için çok sayıda test olduğu halde normallik varsayımını kontrol etme genelde uygulanmamaktadır ¹⁹. Fakat normallik koşulu sağlanmadan kullanılacak istatistiksel yöntemlerle elde edilen sonuçlar gerçek durumu yansıtmayabilir. Bu yüzden araştırıcılar verilerini analiz etmeden önce mutlaka normallik varsayımı sağlayıp sağlamadığını kontrol etmesi gerekir. Eğer veriler normal dağılıma uygunluk göstermiyorsa uygun dönüşümlerle normallik varsayımı sağlanmaya çalışılır veya parametrik olmayan yöntemler kullanılabilir ²⁴.

Bu çalışmanın amacı araştırıcıların çok değişkenli normal dağılıma uygunluğu kolay bir şekilde kontrol ederek çalışmalarında daha doğru sonuçlar elde etmesini sağlayacak yeni kullanıcı dostu bir web tabanlı yazılım geliştirmektir. Yazılımda çok değişkenli normalliği test etmek için 3 ayrı testten yararlanılmıştır.

Bu testler Mardia’nın çarpıklık-basıklık, Henze-Zirkler ve Doornik-Hansen testleridir. Normalliğe dair sonuç çıktıları araştırıcıların kolayca anlayabileceği şekilde grafiklerle desteklenerek verilmektedir.

İstatistiksel analizler için yaygınca kullanılan IBM SPSS Statistics ²⁵, Minitab ²⁶, MedCalc ²⁷ gibi yazılımlarda çoklu normal dağılım yapılmasına imkan sağlayan bir modül bulunmamaktadır. Bu yazılımlara ek olarak Stata ²⁸ programı çoklu normal dağılıma uygunluğu test edebilmektedir. Ancak açık kaynak web tabanlı bir yazılımda tek ve çok değişkenli normal dağılıma uygunluğu değerlendiren az sayıda yazılım vardır. Bunlardan biri Türkiye’de geliştirilen ve MVN: a web-tool for assessing multivariate normality (ver. 1.6) adı verilen yazılımdır ²⁹.

Ayrıca bu çalışmada geliştirilen yazılımın çıktılarını değerlendirebilmek adına iki değişkenli her bir değişkenin standart normal dağılıma sahip olduğu ve 1000 gözlemli veri seti, IBM SPSS Statistics sürüm 25.0 ile türetilmiştir ²⁵. Analiz sonuçlarına göre 2 değişkenin her biri tek değişkenli normal dağılıma uygunluk gösterdi. Ayrıca veri seti çok değişkenli normal dağılımı belirlemek için yazılımda yer verilen üç teste göre de çoklu normal dağılıma uygun olduğu gösterilmiştir.

Sonuç olarak, geliştirilen yazılım tek değişkenli ve çok değişkenli normal dağılıma uygunluk analizlerini kolayca yapabilen ve kullanıcıların yapacakları çalışmalarında daha doğru sonuçlar elde etmesini sağlayan yeni kullanıcı dostu bir web tabanlı yazılımdır. İlerleyen çalışmalarda, en iyi yönteme karar vermede kullanılan ölçütlerden Tip I ve Tip II hata türlerinin yazılıma eklenmesi planlanmaktadır.